2005 年のなんでもセミナー

前回は多変数正則関数の基本的性質とReinhardt領域でのベキ級数の収束について述べました．今回はベキ級数の収束領域について述べて，具体例を少し見てみたいと思います．

最初に軽く前回の復習をするので前回これなかった人もぜひ来てください．

数学的な対象に不変量を割り当て，その不変量を調べることによってもともとの対象を調べる，という手段は数学の常套手段であると思います．表現論においてもそれは例外ではなく，表現に対しいくつかの不変量が定義されます．

今回は，そのような不変量のうち，Gelfand-Kirillov次元を紹介したいと思います．有限次元表現の場合はその次元が不変量となり，その表現の大きさを表しますが，無限次元表現に対しては，Gelfand-Kirillov次元がその大きさを測る役割を持ちます．例えば，誘導することにより作られた表現は比較的「大きな」表現となり，Gelfand-Kirillov次元も大きめになります．

セミナーでは，Gelfand-Kirillov次元の定義を与え，いくつかの簡単な性質の証明．また，いくつか簡単な表現に対し，そのGelfand-Kirillov次元を実際に計算してみたいと思います．

議論には殆ど線形代数しか使いません．Lie環論に慣れ親しんでいると聞きやすいとは思いますが，知らなくても大丈夫です．

11 月 24 日：荻原哲平氏『多変数複素解析入門』

一変数の正則関数の場合と同様，多変数の正則関数においてもpolydiscという円板の直積である領域でCauchyの積分公式が成り立ち，その系としてCauchyの不等式，一致の定理，最大値原理などが成立し，正則関数が局所的にベキ級数展開できることもわかります．

一変数の場合，原点を含む領域D上の任意の正則関数の原点中心のベキ級数展開がDを含む領域で収束するためにはDが原点中心のdiscであることが必要十分条件ですが，多変数ではReinhardt領域と呼ばれる領域がこれに相当します．

今回のセミナーでは正則関数の定義から始めて，Cauchyの積分公式と，そこから導かれる多変数正則関数の基本的な性質をみたあと，Reinhardt領域におけるベキ級数の収束について述べたいとおもいます．また，余裕があれば，一変数の収束円に対応する，ベキ級数の収束領域についても述べたいと思います．

予備知識は一変数複素解析の基本的な知識（複素解析学Ⅰの内容程度）があれば十分です．

参考文献：
[1]LARS HORMANDER An Introduction to COMPLEX ANALYSIS IN SEVERAL VARIABLES

11 月 17 日：山下温氏『Toruńczyk の定理とその応用』

次回は Toruńczyk の定理の簡単な応用についてやります．アイディアを重視して短い時間でやります．前回示したことについては適宜，説明を加えますので前回来なかった人も大丈夫です．

11 月 10 日：山下温氏『Toruńczyk の定理とその応用』

コンパクト多様体 M の自己同相群 Homeo(M) にコンパクト開位相（一様収束位相）を入れた位相群の局所的な位相的性質の決定は，ある意味では位相空間論の問題と呼ぶこともできますが，1960年代に R. D. Anderson が提唱して以来，一般の n については未解決問題となっています．

M の次元が 1 ないし 2 の時には，Homeo(M) は，局所的にそれが Hilbert 空間に同相であること，すなわち，可分 Hilbert 空間の開集合と同相な集合による開被覆をもつことが示されました．n が 3 以上であっても同様の結果を期待することができますが，その鍵となると思われるのが1981年に発表された H. Toruńczyk の定理です．Toruńczyk の定理は一般に位相空間が局所的に Hilbert 空間と同相であるための必要十分条件を与えます．

今回のセミナーはこの定理の証明の概要と，応用について述べる予定です．

10 月 27 日：入江慶氏『数の幾何入門（２元２次形式の数論）』

１．Mahlerのコンパクト定理

ｎ次元ユークリッド空間の中の格子全体のなす空間を考えると、そこには自然に位相を入れることができます。その位相を用いて格子列M₁,M₂,\ldotsが格子Mに収束する、ということを定義することができます。Mahlerのコンパクト定理とは、格子列が収束する部分列を持つための十分条件を与える強力な定理です。今回の発表ではその証明と若干の応用を扱います。

２．Mordell法と２元３次形式

前回は、Mordell法の紹介として、原点対称な楕円が原点以外に格子点を含まないための条件について考察しました。楕円は２元２次形式で定義される図形ですが、今回の発表では２元３次形式で定義される図形について同様の考察を行い、Mordell法が活躍するさまを見たいと思います。

３．おまけ

前回、ｆが不定値２次形式の場合の\frac{M(f)}{\sqrt{D(f)}}の分布についてお話しました。その時出たいくつかの疑問点について、若干の補足を行います。

参考文献：
[1]J.W.S.Cassels An Introduction to the Geometry of Numbers
[2]A.Markoff Sur les formes binaires indefinies

10 月 20 日：入江慶氏『数の幾何入門（２元２次形式の数論）』

ｎ次元ユークリッド空間の中で、１次独立なｎ個のベクトルを考え、それらの整数係数結合として表せる点全体を格子といいます。数の幾何とは、ｎ次元ユークリッド空間の中で、あたえられた図形と格子との関係を調べる数学であるということが出来ます。

ｆ(x,y)=ax²+bxy+cy²を、実数係数の２元２次形式とします。ここでx,yにそれぞれ整数値を代入したときのf(x,y)の絶対値の下限をM_fとし（ただしx=y=0は除きます）、
N_f= \frac{M_f}{\sqrt{D_f}}
とします．ただしD_fはfの判別式b²-4acを表します．ここで、N_fの値は、fを定数倍しても不変であることは容易に確認できます。それでは、fとして適切な範囲にあるもの（たとえば正定値形式全体など）を全て考えたとき、N_f全体はどのような集合をなすでしょうか？

すぐに分かるようにこの問題は円/双曲線の内部と格子点との関係を問うものであり、この問題を考えることで数の幾何の面白さを端的に感じとることができます。

今回の発表では、この問題を考えることを通して、数の幾何の基本的な定理や手法（Minkowskiの凸形定理、Mahlarのコンパクト定理Mordell法）を紹介することを目標としたいとおもいます。

時間に余裕があれば２変数３次形式の場合についても扱います。

予備知識は特にありません。ｎ次元ユークリッド空間の位相についてのごく初歩的な知識と高校数学を知っていればよいと思います。

10 月 13 日：伊藤哲史氏『素数判定法について』

素数判定法とは，与えられた自然数が素数であるかどうかを判定する方法のことです．自然数 N に対し，N が素数であるための必要十分条件は，N が 2 ～ N^1/2 の間にある自然数で割り切れないことです．これを素直に確かめると高々 N^1/2 回の試行が必要になり，この方法は，N の桁が大きくなると，あまり現実的ではありません．

そこで，『効率的な素数判定法が存在するか？』，より正確には，
『N に対し，高々 (log N)^k の定数倍の回数の試行により，N が素数であるかどうかを判定できないか？』
という問題が考えられます．これは，長年の未解決問題でしたが，2002年の夏に Agrawal-Kayal-Saxena によって発見された素数判定法によって，肯定的に解決されました．しかも，Agrawal-Kayal-Saxena の方法は，高度な現代数学を一切使わない初等的なものでした．この結果は "PRIMES is in P" とも呼ばれ，いろいろな所で話題になったので，どこかで耳にした人も多いのではないでしょうか．
＃もしかしたら，来年あたり，また話題になるかもしれません．

今回のセミナーでは，Agrawal-Kayal-Saxena の方法について，その数学的な側面を，できるだけ初等的かつself-containedに説明したいと思います．

ちなみに，k としてどの位の数が取れるか，ということですが，Agrawal-Kayal-Saxena の方法では，全く初等的に，k = 10.5 + εが示せます．今回は，これについて説明する予定です．さらに難しい解析数論の結果をちょっと使うと，k = 7.5 + ε ととれることが証明できます．（k = 6 + ε まで改良した，という話もあるようです）予想としては，同じ方法で k = 3 + ε まで改良できると期待されているようですが，これは未解決だと思われます．

予備知識ですが，主定理を理解するだけなら，初等整数論の基本事項（素数の定義，合同式の性質，原始根の定義，etc.）が分かっていれば，まあ，たぶん十分です．
＃計算量についてほとんど説明しない（できない）と思いますので，『P って何？』という人は，誰か詳しそうな人に聞いてください．

これ以外にも，Googleで検索すれば，文献や解説記事が沢山ひっかかりますが，数学者でない人の書いている "説明" や "証明" が多いので，結局は原論文 [1] が一番分かりやすいと（個人的には）思います．

[2] は，以前は無料でダウンロードできたはずなのですが，今はできなくなっているようです．（Googleのキャッシュには残っているので，本文だけなら気合で読むことができます．まあ，図書館に行けばいいのですが）

[1] (Ann. of Math. に出版されたversion) の Lemma 4.3 には (初等的な) "bug" があります．Agrawalのホームページにある "August, 2005 version (v6)" では直っているので，暇な人は見比べてみましょう．

10 月 6 日：西本将樹氏『Rothの定理(2)』

今週は先週準備したことを用いて上手い多項式Q(x₁,．．,x_m)を構成し,Rothの定理を証明します．証明の残りの部分を完成させた後,時間に応じて応用例やRothの定理の発展形などを紹介したいと思います．

Rothの定理の証明の本質的な部分の半分くらいは先週に示された事になりますが,その結果を認めて貰えれば残りの証明は十分理解出来る内容なので,来週から聴きに来た方も一つ結果を認めるという点を除いては全く問題ありません．セミナー開始18:30から10分程度,必要となる定義や結果について復習しようと思うので,不要と思う方は10分くらい遅刻してくると良いかもしれません。

9 月 29 日：西本将樹氏『Rothの定理』

代数的数の有理近次とは、代数的数を出来るだけ分母の小さな有理数で近似しようというもので、それにはある種の限界がある事が分かっています。例えば
・定理(Liouville,1844)
n(>=2)次代数的数αに対し、ある定数c>0が存在し、任意の有理数p/qに対し
|α-p/q|>c/qⁿ
が成り立つ。
という定理があります。この定理によれば、代数的数の有理近似には分母のn乗による近似の限界があるということが分かります。この「n乗」に相当する部分を改良する努力の結果、1955年に、「ｎ乗」の部分を「２＋ε乗」に書き換えても良いよというRothの定理が示されました。
・定理(Roth,1955)
任意のn(>=2)次代数的数αとκ=2+ε>2に対し、
|α-p/q|>1/q^κ
の解は高々有限個
一方不等式 |α-p/q|<1/q² は無限に多くの解を持つことが分かるので、「２＋ε乗」という評価は最良であるということが分かります。つまり、このタイプの不等式の改良の、1つのゴールとなりました。

今回扱うのはこのRothの定理の証明です。証明は一見長く複雑ですが、実はアイディアは根本的にはLiouvilleの証明と似たようなもので、それをｎ変数に拡張した感じになっています。この長く何がやりたいのかよく分からない証明を、やりたい事が分かるように説明出来れば良いなと思っています。

発表は余裕をもって２回を予定しています。進み具合に応じて応用やこの定理のいくつかの発展形などといった事も話そうかと思っています。ではよろしくおねがいします。

9 月 22 日：萩原啓氏『Hilbert第3問題の諸相』

「底面積と高さの等しい2つの四面体は分割合同か」
これが、1900年の国際数学者会議においてHilbertによって提示された23の問題の内の1つであり、第3問題と銘打たれているもの(の一部)です。ここで、2つの多面体$P$と$Q$が分割合同(又は鋏合同)であるとは、これらをそれぞれ、$P_1, \ldots , P_n$; $Q_1, \ldots , Q_n$と幾つかの多面体に上手く分割すると、各$P_i$と$Q_i$が合同となるようにできることを意味します。この問題自体は、僅か数ヵ月後にHilbertの学生Dehnによって鮮やかに解決されましたが、第3問題は高次元のユークリッド空間や更には非ユークリッド空間に於いても自然に定式化されるものであり、その殆どは今なお未解決であるというのが現状です。勿論これらは単なる一般化のための一般化ではなく、そのことは、線形群のホモロジーや代数的$K$理論、Chern-Simons不変量や多重対数関数といった諸々の重要な概念・理論と、これら「一般化された第3問題」との密接な繋がりが近年ますます明らかになっている事からも窺い知ることが出来ます。

今回は、Dehn、Sydlerによる第3問題の$\mathbb{R}^3$-caseの証明とそのホモロジー論的解釈、及び高次元ユークリッド幾何や双曲幾何に於ける第3問題に対して、他分野との関係やその現状について紹介したいと思います。

予備知識としては、位相空間論、複素関数論とホモロジー代数学の初歩程度で十分だと思います。

7 月 7 日：松本雄也氏『選択公理および連続体仮説の無矛盾性』

次回は、
L が ZF のモデルであること、
L において AC や GCH が成立すること、
ゆえに AC や GCH が ZF から無矛盾であること、
を示します。

6 月 30 日：松本雄也氏『選択公理および連続体仮説の無矛盾性』

前回思ったほど進まなかったので、おそらくあと2回僕が話すことになりそうです。

次回の内容は、モデルの理論と L の定義 +ε を予定しています。

前回の内容は、 ZF の公理の説明と、順序数・基数の準備だったので、この分野の素養がある方は、次回から来ても十分に理解できると思います。

6 月 23 日：松本雄也氏『選択公理および連続体仮説の無矛盾性』

「選択公理 (AC) および一般連続体仮説 (GCH) が、ZF集合論と矛盾しない」
という結果 (Gödel, 1938-40) を紹介します。

選択公理は、無限の選択に関する公理であって、この公理から数学の各方面において有用な定理が導かれます。たとえば、
・整列可能定理、Zorn の補題
・Tychonoff の定理（空間族の各元が compact であることとそれらの直積が compact であることは同値）
・体上のベクトル空間にはかならず基底が存在する
（実は、これらの定理は選択公理と同値であることが知られています）

また、連続体仮説は可算濃度と連続体濃度の中間の濃度が存在しないことを主張するもので、1900年の Hilbert の23問題の筆頭にも掲げられ重要視されていました。

これらの命題が、20世紀初頭に Zermelo らにより構築されたZF （Zermelo-Fraenkel）公理系から証明（あるいは反証）できないかという問題が永らく集合論の大問題となっていましたが、Gödel の無矛盾性の証明により、少なくとも反証はできないことが示されました。

（なお、実際には AC や CH は ZF から独立である（Cohen, 1963）ことが示されていますが、その証明には forcing という難しい理論を要するので、今回はそちらは割愛し無矛盾性についてのみ話します。）

Gödel の証明では、「モデル」の概念が重要となります。（ZF 公理系の）モデルとは、集合の集まり（正確には、クラス）であって、その内部で ZF の各公理が成立するものです。ここで、あるうまいモデル L を持ってくると、L は ZF のモデルであることと、L において AC や GCH が成立することが証明できます。ここから（ZF の無矛盾性の仮定の下で）、ZF と AC, GCH が同時に成立したとしても矛盾が発生しないこと、すなわち AC, GCH の（相対）無矛盾性が示されます。

発表の流れとしては、
・ZF 公理系の概観（および、クラスの説明）
・集合論からの準備（順序数、基数）
・モデル論　＜このあたりから2週目？＞
・L の定義、主定理の証明
といった感じを予定しています。なお、準備が長くなりそうなので、おそらく2週以上にわたって発表することになると思います。

予備知識はあまり仮定しません。みなさまの参加をお待ちしています。

6 月 16 日：三枝洋一氏『Lefschetz跡公式についてのDeligne予想の紹介』

前回の続きです．来週は本題であるDeligne予想について紹介を行う予定です．

6 月 9 日：三枝洋一氏『Lefschetz跡公式についてのDeligne予想の紹介』

Lefschetzの跡公式とは，多様体 X から自分自身への射 f:X->X の固定点の個数を f がコホモロジーに引き起こす準同型 f^* の跡（トレース）の交代和で表すというものです．今回のセミナーでは，有限体上の代数多様体に対するLefschetz跡公式の精密化であるDeligne予想について紹介します．なお，この予想は
・曲線の場合（Illusie, SGA5）
・正標数の特異点解消を仮定した場合（Pink）
などの部分的結果を経て，藤原一宏氏の博士論文（1997年出版）において完全に解決されています．最近（2005年5月15日）Varshavskyによって大変簡単な別証明が発表された（アナウンス：arXiv, math.AG/0505314．詳細：math.AG/0505564）ので，それを紹介しようという企画です．

セミナーの前半では，コホモロジー論にあまり親しみがない人向けに跡公式を解説し，その典型的な応用について述べたいと思います．さらにDeligne予想の大まかな主張を紹介し，藤原氏，Varshavskyのアプローチについて概観します．この部分は学部生の皆さんへのコホモロジーの紹介を兼ねており，参加者全員に理解していただけるよう試みるつもりです．後半では，Lefschetz-Verdier型の跡公式について簡単に復習し，Deligne予想の正確なステートメントを述べます．その後，Varshavskyの証明を紹介したいと思います．

前半部を理解するには，何か1つコホモロジー理論を見たことがあれば十分だと思います．（私が以前行った層係数コホモロジーのセミナーを聴いた人はそれで十分です．）後半部はスキーム論，エタールコホモロジー，ホモロジー代数についての標準的知識（EGA + SGA + Verdier, Asterisque 239 で上から押さえられます）を仮定します．とはいえ，これらを知らない人にも雰囲気は伝わるようにしたいと思います．

ぜひ皆さん気軽に聞きに来てください．アブストラクトの見かけよりきっと難しくないと思います．

6 月 2 日：近藤宏樹氏『Automorphism Towers』

群 G に対してその自己同型全体がなす群 Aut(G) を考えます。G の元 g に対して、g を共役に作用させる G から G への写像は G の自己同型となり、さらに g に対してこの自己同型を対応させることで群準同型 G → Aut(G) が得られます。一般にこの写像は単射にも全射にもなりませんが、G の中心が自明のときは単射になり、さらに Aut(G) の中心も自明になることを示すことができます。

これより、G の中心が自明であるときには、上の単射準同型の像を部分群と同一視することによって
G ⊂ Aut(G) ⊂ Aut(Aut(G)) ⊂ Aut(Aut(Aut(G))) ⊂…
という列が得られます。これを G の Automorphism Tower といい、この列がいつ止まる（あるところより先は同じ群が続く）かということを問題にすることができます。

今回紹介するのは、Wielandt によって 1939 年に示された次の美しい結果です：
G が有限群ならば、G の Automorphism Tower は必ず止まる。

セミナーでは、（上に述べたような感じで）Automorphism Towerを定義していくつかの例を見た後、Wielandt の定理の証明を紹介します。時間の関係で一部証明を省くことになりますが、証明のアイデアや雰囲気が伝わるような発表にできればと思います。ちなみに、上の列を任意の順序数回繰り返した列を考えることもできますが、今回は触れません。

予備知識としては、3 年生程度の群についての知識があれば十分です。具体的には、交換子とか自己同型群とかを見たことがあって群 G の部分群と剰余群 G/N の部分群の対応を知っていれば余裕なくらいです。みなさまの参加をお待ちしています。

5 月 26 日：今井直毅氏『Galois category』

前回の続きです。Galois categoryから基本群を構成する方法を紹介しようと思います。

5 月 20 日：吉田輝義氏『PEL 志村多様体の定義』（番外編）

5 月 19 日：今井直毅氏『Galois category』

今回のセミナーでは、schemeに対して基本群を代数的に構成する方法を紹介したいと思います。

一般に位相空間に対して基本群を定義する際、単位閉区間 I からの連続写像を考えますが、schemeの圏においては単位閉区間にあたるものはありません。

そこで被覆空間の理論を用いて基本群を定義することを考えます。連結なscheme X の被覆空間にあたる X 上のfinite etale schemeのなす圏と、とあるfunctorを考えると、これはGalois categoryと呼ばれるGalois理論が成立する圏の公理を満たします。

一般にGalois categoryから基本群を構成する手順が存在するため、ここにおいてschemeの基本群の代数的構成という目標が達せられたことになります。

予備知識としては圏論の基本的な言葉を仮定して、scheme論を知らなくても大体わかるように話そうと思います。なのでscheme論をフルに使う部分は基本的に証明は省略することになるでしょう。とはいえschemeを全く知らないとよくわからないところもあるかと思うので、schemeの定義を知らないという人は15分ほど早く来ていただければ簡単にschemeの説明をしようと思います。

5 月 12 日：佐野太郎氏『トポロジー入門』

公式を示すための道具は大体そろったので、やっとLefschetzの一致点公式を証明したいと思います。今回で最後です。長々と失礼いたしました。

4 月 21 日：佐野太郎氏『トポロジー入門』

前回で一応予備知識が終わったわけですが、予備知識を使う場所はポツポツとしかない気がしてきました。次回は多様体の向きとか基本ホモロジー類とかを定義したり、チェックコホモロジー群をENRの局所コンパクト部分集合に対して導入したいと思います。まだ本編とはいえないので次回も予備知識ということになるのかもしれません。

4 月 14 日：佐野太郎氏『トポロジー入門』

前回の続きでLefschetzの一致点公式を証明するのに必要な予備知識を説明します。

3 月 10 日：佐野太郎氏『トポロジー入門』

向きの付いた多様体N,M間の2つの連続写像f,gの一致点に関して、Lefschetzの一致点公式というものがあります。これはある仮定の下で、gから定まる準同型とfのGysin準同型の合成に対するLefschetz数と、Mの基本コホモロジー類を使って定義されるf,gの一致点指数とが等しいことを主張します。Lefschetz数は次数つきベクトル空間の間の線形写像の各次数でのトレースから定まり、上のLefschetz数が0でなければf,gはある点で一致する、というLefschetzの一致点定理は一致点公式の特別の場合です。一致点公式の証明にはPoincare双対と呼ばれる多様体のホモロジーの特徴的性質が基本的役割を演じます。

日程の都合上間が空いてしまうことになる上、発表者は位相幾何を今年に入って学び始めたこともあり、1回目はとりあえずトポロジー入門ということで一致点公式の証明に必要な予備知識について発表すると共に聴衆の皆様にご教授頂きたく思います。全てに証明をつけるのは不可能だと思いますが、予備知識は限りなくゼロに近くしたいと思っています。

3 月 3 日：山下温氏『可分 Hilbert 空間が実数直線の可算積に同相であることについて』

来週は証明を終わらせます．残っていることは，
・\ell² から点を追い出す
・\ell² や \mathbb{R}^\mathbb{N} からやせた集合を追い出す
・同相写像の開被覆による制御とその収束（次の項目のための準備）
・可算個のやせた集合を逐次追い出す
ということです．これにより，同相を証明するための最後の障壁が除かれたことになります．

2 月 24 日：山下温氏『可分 Hilbert 空間が実数直線の可算積に同相であることについて』

前回にひき続いて，（狭義の？）トポロジカルな手法により可分 Hilbert 空間と実数直線の可算積との間の同相写像を構成します．

2 月 17 日：山下温氏『可分 Hilbert 空間が実数直線の可算積に同相であることについて』

可分 Hilbert 空間が実数直線の可算積に同相であるかという問題は，位相空間の始祖の一人である Frechet [1] や関数空間の研究を盛んに行った Banach [2] によりすでに提示されていました．Banach はこの問題に対して，間違って否定的な答を出してもいます．

説明は，Anderson and Bing [3] に沿って行います．論文のタイトルにある通り，議論は大変初等的なものですが，無限次元空間を幾何的に取り扱うためのテクニックがふんだんに盛り込まれており，無限次元トポロジーという分野の出発点となりました（Bing はこの他に3次元多様体に関する独特の幾何的考察に根ざしたトポロジーを展開した人としても有名です）．

予備知識をキーワード的に述べますと
「完備距離空間」「（無限個の）直積空間」「Tietze の拡張定理」
などです（初等的な証明であることがお分かりいただけるでしょう）．

（予定）
定義，アイソトピー，集合を平らにする，同相写像の収束，点を追い出す，コンパクト集合の可算和を追い出す．

2 月 10 日：阿部紀行氏『最高ウェイト理論とその応用』

一週あきましたが，前回の続きです．内容としては一応前回予告したものを予定してますが，少し別の話になったりするかもしれません．

2 月 3 日：伊藤哲史氏『自由群と木』

群は数ある代数系の中でも，最も基本的なものです（半群の方が基本的だとか，マグマの方が基本的じゃないか，という人は，置いといて...）．どのような群も生成系と関係式による表示を持ちますが，具体的に与えられた群に対し，その生成系と関係式を具体的に調べることは，それほど容易なことではありません．

今回の「なんでもセミナー」では，このような群に関する問題が，「木」(tree) と呼ばれる組み合わせ論的対象を考察することで，鮮やかに解決されるということを紹介したいと思います．

予備知識は，一応，群論の初歩（でもSylowの定理はいりません）としますが，群の定義さえ知っていれば理解できるように心がけたいと思います．あと，p進数を一度でも見たことがあると，分かりやすい部分もあるかもしれません．（それでは物足りない，という人は，参考文献でも眺めてみるか，最高ウェイトの計算でもしておいてください）

今回の発表の内容では，この本の前半で扱われている内容を話す予定です．本当は，p進代数群の表現論や，関数体上の GL(2) の離散部分群への応用等，いろいろと面白いテーマもあるのですが，それらについて話す時間は無いと思いますので，興味のある人は，この本を参照してみてください．

1 月 27 日：阿部紀行氏『最高ウェイト理論とその応用』

という二つの問題は，表現論の最大のテーマの一つであるといえます．この問題は，群や表現のタイプによっては解決されているものの，まだまだ未解決の部分も多く，一般には難しい問題です．

最高ウェイト理論は，半単純Lie群の有限次元連続表現というカテゴリーにおいて，上記二つの問題の解を与えるものです．これは，結果自体が重要であることは勿論のこと，更に無限次元表現の研究においても，技術的にも指導原理としても重要であり，現代の半単純Lie群の表現論にとってなくてはならないものであるといえます．

今回は，まずGL(n,\mathbb{C})の正則表現の場合に最高ウェイト理論を証明し，それを用いて，いくつかの場合に具体的な分解を計算したいと思います．

２．(GL,GL)duality

n×k複素行列全体には，左からGL(n,\mathbb{C})，右からGL(k,\mathbb{C})を作用させることが出来，その作用からその上の多項式環はGL(n,\mathbb{C})×GL(k,\mathbb{C})表現とみることが出来ます．(GL,GL)dualityとは，この表現の分解を通じてGL(n,\mathbb{C})の表現とGL(k,\mathbb{C})の表現が対応するというものです．最高ウェイト理論を用いて，これを示したいと思います．

３．不変式論の第一定理

２のように，多項式環にある群が作用しているとき，その中でG不変な多項式全体は環をなすことになります．この環を調べるのが不変式論ですが，今回はその生成元を与える定理を証明したいと思います．

４．Schur duality

(\mathbb{C}ⁿ)^{\otimes k}には自然にGL(n,\mathbb{C})が作用しますが，一方でテンソルの成分を取り替えることにより，対称群S_kも作用します．この表現の分解によりGL(n,\mathbb{C})の表現とS_kの表現とが対応するというのがSchur dualityです．特にnがk以上の場合は，S_kの既約表現が全て現れることが証明出来るので，これからS_kの既約表現を分類することも出来ます．

二日間にわかれる予定になっているので，一日目はまず最高ウェイト理論をしたいと思います．残りの応用は二日目になると思います．予備知識としては，表現論の基本的な言葉や命題（Schurの補題程度），線形代数と複素関数論（東大数学科が四学期に扱う内容程度）があれば十分です．

1 月 20 日：野沢啓氏『位相空間のΓ-構造と開多様体上の葉層構造の分類について』

ファイバー束、複素構造、葉層構造など、位相空間や多様体上の幾何学的構造局所的に自明な構造を貼り合わせて作られていることがよくあります。1958年、A.Haefligerはそのような構造を一般化した概念であるΓ-構造いうものを定義しました。そして、1970年には位相群の主束のアナロジーでΓ-構造の分類空間BΓが構成できることを示し、開多様体上の葉層構造をある種の束写像のモトピー類と対応させることで分類しました。この定理はHaefligerの葉層構の分類定理と呼ばれるものです。

定理自体とても美しいものですが、私は多様体の構造を"貼りあわせ"で記述しようとするΓ-構造の概念の然さにも強い感銘を受けました。私の発表は、この感動を他の人にも伝えられたらと思い行うものです。今回の発表は特に他の分野の方が多いと思われるので、概念の自然さが伝わるように配慮して発表したいと思います。

予備知識は特に必要ありません。Brownの表現定理とGromov-Phillipsの定理を使いますが、説明はするので知らなくても問題ありません。

時間の関係もあり、事前にTeXで全て打っておき発表では概念の説明に重点をいて細かい証明はあまりしないようにします。TeX,DVIファイルの置き場は以下です。http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~open/tex.html

・参考文献：
「埋め込みとはめ込み」足立正久岩波書店
発表の内容は殆どこの本の第５章の内容そのものです。

1 月 13 日：山本修司氏『Brumerの定理とLeopoldt予想』

代数的数の対数の一次独立性に関するBakerの定理は超越数論における有名な定理の一つですが，今回はこれのp進版（普通の対数関数の代わりに「p進対数関数」を使う）であるBrumerの定理の証明をしたいと思います．

またこの定理の応用として「Abel体のLeopoldt予想」が導かれます．この応用についても（Leopoldt予想の主張も含めて）説明する予定です．

代数体の整数環やp進数の定義，および簡単な性質は仮定します．Bakerの定理は知らなくて構いません．

(1)	行列式が1となる整数係数の2次正方行列全体 SL(2,Z) は行列の乗法に関して群をなします．ところで，SL(2,Z) は，「a,b で生成され，関係式が a⁴ = 1, (ab)³ = a² で与えられた群」と同形になります．何故でしょうか？
(2)	全く関係式を持たない群を「自由群」といいます．自由群は群の中でも，最も「単純」なものですが，その具体的な性質はそれほど「単純」ではありません．例えば，一見当たり前にも思える命題『自由群の部分群は自由群である』...はどうやって証明したらいいのでしょうか？また，具体的な自由群の具体的な部分群が与えられた時，その生成系はどのようにすれば得られるのでしょうか？
(3)	3つの群 G, H, A と単射準同型 A → G, A → H が与えられた時，G と H の「アマルガム」(amalgam, 合併)と呼ばれる群 G _A H を作ることができます．アマルガムの定義はとても「簡単」で「具体的」ですが，具体的な群のアマルガムがどのようになるのかは，それほど明らかなことではありません．例えば，SL(2,Z) は2つの有限巡回群のアマルガム (Z/4Z) _Z/2Z (Z/6Z) と同形になります．一方で，SL(3,Z) は2つの群の非自明なアマルガムとして表すことができない，ということが知られています... 一体何が違うのでしょうか？

1.	自由群，アマルガム，木
2.	木に作用する群
3.	作用の基本領域とアマルガム
4.	伊原の定理